Câu 6:
Coi 6 số vô tỷ a,b,c,d,e,f tương ứng với 6 điểm A,B,C,D,E,F.
Tô màu đỏ cho đoạn AB nếu a+b vô tỷ, và tô màu xanh nếu a+b hữu tỷ. Như vậy mỗi đoạn được tô bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ.
Xuất phát từ A có 5 đoạn, được tô bởi 2 màu, nên có ít nhất 3 đoạn phải cùng màu. Gsu đó là AB, AC, AD.
Nếu BC,CD,DB cùng màu thì ta có tam giác BCD có 3 cạnh cùng màu.
Ngược lại, nếu tam giác BCD có cạnh đủ 2 màu, thì ít nhất 1 cạnh sẽ cùng màu AB,AC,AD. Bà kho đó ta lại có 1 tam giác mà 3 cạnh cùng màu.
Tóm lại, luôn tồn tại tam giác có 3 cạnh cùng màu. Ta lại giả sử, đó là ABC.
Nếu màu cạnh tam giác đó là xanh, thì sẽ vô lý, vì khi đó a+b, b+c, c+a cùng hữu tỷ. Do đó:
a =(a+b) +(a+c) -(b+c)/2 là số hữu tỷ, mâu thuẫn với đề bài là a vô tỷ.
Vậy màu cạnh tam giác đó phải là đỏ, tức là a+b, b+c, c+a đều vô tỷ. Ok xong