Chào các kụ/mợ
F1 nhà cháu nay va bài này, hỏi mà nhà cháu chịu cứng đành mang lên nhờ các kụ/mợ chỉ giúp: Cho a, b nguyên dương với a>b>1 thoả mãn (ab+1) chia hết cho (a+b) và (ab-1) chia hết cho (a-b). Chứng minh rằng a^2 < 3b^2
Xin cảm ơn các kụ/mợ!
Cụ đem lên đây hỏi là đúng địa chỉ rồi. Tôi giải hộ cho đây. Tôi có thể chứng minh mạnh hơn: a^2 <= 3b^2 -2 (<= nhỏ hơn hoặc bằng) hoặc tương đương a^2< 3b^2-1.
Bài này khó cho học sinh lớp chuyên. Cháu nào tự giải được trong 30 phút có triển vọng trở thành giáo sư.
Mở được 03 khóa mới giải được. Để dễ hiểu tôi chia thành 3 bước.
Bước 1: Chứng minh ước số chung lớn nhất USCLN(a,b)=1. Thật vậy giả sử USCLN(a,b)=d, suy ra (a+b) chia hết cho d. Theo gỉa thiết (ab+1) chia hết (a+b) nên suy ra (ab+1) phải chia hết cho d. Mặt khác ab chia hết cho d (vì cả a và b chia hết d). Suy ra 1 chia hết cho d. Suy ra d=1.
Bước 2: Chứng minh USCLN(a+b,a-b)=1 hoặc 2.
Thật vậy giả sử USCLN(a+b,a-b)=D, suy ra (a+b)+(a-b) và (a+b)-(a-b) chia hết cho D . Tức là 2a và 2b chia hết D. Do USCLN(a,b)=1, nên USCLN(2a,2b)=2. Suy ra 2 chia hết cho D. Suy ra D=1 hoặc 2.
Bước 3: (ab+1) chia hết (a+b) suy ra (b*b-1) chia hết cho (a+b) do b(a+b) chia hết cho (a+b).
Tương tự, (ab-1) chia hết (a-b) suy ra (b*b-1) chia hết cho (a-b) do b(a-b) chia hết cho (a-b).
Do, theo bước 2, USCLN(a+b,a-b)=2, suy ra 2(b*b-1) chia hết (a-b)(a+b), tức là chia hết (a*a-b*b).
Theo giả thiết b>1, suy ra b*b-1 khác không, từ đó suy ra 2(b*b-1) >= (a*a-b*b), tương đương 3b^2-2 >= a^2.
Trường hợp USCLN(a+b,a-b)=1, tương tự, suy ra a^2<= 2b^2-1.
Hết. Bài khó dành cho học sinh rất giỏi.
Các ông không giải toán thì trật tự đê, không đá ngang sang chuyện khác, không khoe đội tuyển toán này và nọ. Bài này chắc chắn không dành cho đại trà, đề bài ra là phù hợp với lớp của con bác chủ thớt (chuyên, chọn, đội tuyển...) để có khả năng giải được. Ai giải được thì giúp bác ấy.
Người nói thì nhiều, người làm thì it. Quán cafe mà.
