[Funland] Toán lớp 6, xin nhờ các kụ/mợ

ngocanhpdc · 26/2/19

Hocamdao nói:
Chào các kụ/mợ
F1 nhà cháu nay va bài này, hỏi mà nhà cháu chịu cứng đành mang lên nhờ các kụ/mợ chỉ giúp: Cho a, b nguyên dương với a>b>1 thoả mãn (ab+1) chia hết cho (a+b) và (ab-1) chia hết cho (a-b). Chứng minh rằng a^2 < 3b^2
Xin cảm ơn các kụ/mợ!

Bài này vận dụng các hằng đẳng thức và biến đổi công thức thôi mà:

Vế 1: (ab+1)*(ab-1) = a^2*b^2 - 1 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)
Vế 2: (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)

(ab+1) và (ab-1) lần lượt chia hết cho (a+b) và (a-b) => Tích của các số chia cũng chia hết cho các số bị chia (vế 1 chia hết cho vế 2)
=> [Vế 1] = [Vế 2]*d, trong đó d là số nguyên dương và nhỏ nhất là bằng 1
=> [Vế 1] >= (lớn hơn hoặc bằng) [Vế 2]
Suy ra: a^2*b^2 - 1 >= a^2 - b^2
Suy ra: a^2*b^2 + b^2 - 1 >= a^2
Suy ra: (a^2+1)*b^2 - 1 >= a^2
Theo đề bài a, b nguyên dương với a>b>1 => a nhỏ nhất là bằng 3 => a^2+1 >=10 (>3) Suy ra (a^2+1)*b^2 > 3b^2

Suy ra: 3b^2 - 1 >= a^2, Suy ra (bỏ 1 và dầu bằng đi) a^2 < 3b^2

vihali · 16:55 26/02/2019

QDV2012 nói:
Vì bản thân nhiều anh học theo kiểu luyện gà, học theo mẹo chứ không phải tìm ra được căn nguyên của vấn đề.

Nếu tư duy giỏi tự khắc nhìn đề mà lần ra được thôi chứ cũng chẳng cần phải học nhiều làm gì.

Còn tất nhiên là những anh giỏi toán thì thường giỏi tư duy.

Mà người có tư duy tốt thì làm việc gì chẳng giỏi điều hiển nhiên rồi

Thưa cụ, giỏi toán chỉ chứng tỏ tư duy toán tốt thôi. Ngoài tư duy toán học, còn nhiều loại tư duy nữa.

Tư duy tốt thì có khả năng làm tốt ở phần đó chứ chưa hẳn là sẽ làm tốt.

vihali · 16:58 26/02/2019

vietnamcongtru nói:
Cụ phihanhgia giỏi Toán quá. Cách giải của Cụ chắc là chuẩn rồi. Em ngày xưa cũng 7 năm chuyên Toán, một cơ số(>=3) giải HSG QG nên bây giờ đi làm bốc vác
Nhiều cụ thấy Toán khó rồi kêu này nọ chứ em nghĩ cái gì cũng có hai mặt. Các doanh nhân thành đạt của ta hiện nay(FPT, Galaxy,....) ngày xưa cực giỏi Toán, còn thi cả quốc tế như anh Lê Quang Tiến, Nguyễn Trung Hà....
Hiện nay Vn ta có một số người đang làm key cho mấy dự án AI lớn của Google, đa phần xuất thân chuyên Toán...

Mấy cái tên cụ đưa ra chỉ chứng tỏ học toán vẫn có thể là doanh nhân thành đạt chứ ko phải cứ học toán là thành đạt trong kinh doanh.

Thiên hạ có nhiều người là doanh nhân thành đạt mà ko học chuyên toán và em nghĩ số đó áp đảo.

shiluo · 17:17 26/02/2019

Em còn giải ra a*a <= 2*b*b mà nhỉ ^^

phihanhgia · 17:44 26/02/2019

Lời giải này sai từ suy luận chỗ bôi đậm. Bắc cầu sai : Nếu Y>Z và Y>X thì suy ra X>Z. Bắc cầu đúng phải là: Nếu Y>Z, và Y<X thì suy ra X>Z.
(1) đúng: (a^2+1)*b^2 - 1 >= a^2
(2) đúng: (a^2+1)*b^2 > 3b^2, thậm chí (a^2+1)*b^2 >= 10b^2
(3) sai: 3b^2 - 1 >= a^2.

Cụ mới chỉ ra được (a^2+1)*b^2 - 1 >= a^2, và (a^2+1)*b^2 - 1 > 3b^2 -1; chứ không có liên hệ 3b^2 -1> a^2.

Bất đẳng thức (a^2+1)*b^2 - 1 >= a^2 quá yếu và thỏa mãn với mọi b>1, vì b^2 >=4 nên (a^2+1)*b^2 - 1 >= 4(a^2+1)-1 >= 4a^2+3 luôn luôn lớn hơn a^2.
Suy luận dựa trên BĐT yếu (luôn đúng) thì chẳng suy ra được gì.

ngocanhpdc nói:
Bài này vận dụng các hằng đẳng thức và biến đổi công thức thôi mà:
Vế 1: (ab+1)*(ab-1) = a^2*b^2 - 1 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)
Vế 2: (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)

(ab+1) và (ab-1) lần lượt chia hết cho (a+b) và (a-b) => Tích của các số chia cũng chia hết cho các số bị chia (vế 1 chia hết cho vế 2)
=> [Vế 1] = [Vế 2]*d, trong đó d là số nguyên dương và nhỏ nhất là bằng 1
=> [Vế 1] >= (lớn hơn hoặc bằng) [Vế 2]
Suy ra: a^2*b^2 - 1 >= a^2 - b^2
Suy ra: a^2*b^2 + b^2 - 1 >= a^2
Suy ra: (a^2+1)*b^2 - 1 >= a^2
Theo đề bài a, b nguyên dương với a>b>1 => a nhỏ nhất là bằng 3 => a^2+1 >=10 (>3) Suy ra (a^2+1)*b^2 > 3b^2
Suy ra: 3b^2 - 1 >= a^2, Suy ra (bỏ 1 và dầu bằng đi) a^2 < 3b^2

phihanhgia · 18:00 26/02/2019

Hư Truc 2016 nói:
Hi Cụ,
Chia hết mà ước số lớn nhất bằng 1 nó ra như vậy cụ ah, tuy nhiên em cũng nhầm vì a=2 và b=1 cũng không thỏa mãn a^2 < 3xb^2. Khả năng là vô nghiệm.

Hư Truc 2016 nói:
Em đồng ý với cụ là có vô hạn a,b thỏa mãn 2 điều kiện đầu, b=1 và mới mọi a là thỏa mãn rồi.
Tuy nhiên không thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức. Và rất dễ nhận thấy với a càng lớn thì càng không thể thỏa mãn bất đẳng thức.
Em chạy thử đoạn chương trình vơi a,b (i,j) <1000000 thì cũng không thấy có nghiệm cụ ah, cụ thẩm giúp em nha.
CLEA
FOR i=1 TO 1000000
FOR j=1 TO 1000000
IF i<>j then
IF MOD(i*j+1,i+j) = 0 AND MOD(i*j-1,i-j)=0
a= MOD(i*j+1,i+j)
b= MOD(i*j-1,i-j)
IF i*J+1=(i+j) AND I*J-1=(I-J)
IF i*i<3*j*j THEN
?I,J,I*I,3*(J*J),3*J*3*J
ENDIF
ENDIF
ENDIF
ENDIF
next
NEXT
RELEASE ALL

Code này ko liên quan đến bài toán đã cho. Đề bài cho b>1, còn b=1 với mọi a đều là nghiệm tầm thường. Không thỏa mãn yêu cầu b>1.
Nghiệm đích thực không tầm thường là a=2*n+1 và b=2*n-1.
Cụ thích code tìm tất cả các nghiệm (a,b) nhỏ hơn 1,000,000 thì tôi code cho cỡ 10 dòng thôi.

vietnamcongtru · 18:07 26/02/2019

vihali nói:
Mấy cái tên cụ đưa ra chỉ chứng tỏ học toán vẫn có thể là doanh nhân thành đạt chứ ko phải cứ học toán là thành đạt trong kinh doanh.

Thiên hạ có nhiều người là doanh nhân thành đạt mà ko học chuyên toán và em nghĩ số đó áp đảo.

Đúng rồi Cụ. Ý em chỉ là cái gì cũng có hai mặt, không nên cực đoan thôi.

phihanhgia · 18:30 26/02/2019

Bất đẳng thức a^2 <= 3b^2-2 là mạnh nhất có thể trong bài này.

Tất cả các nghiệm (a,b) đạt được đẳng thức a^2= 3b^2-2 và nhỏ hơn 10,000 là như sau (5 nghiệm):

(a,b)= (19,11), (71,41), (265,153), (989,571), (3691,2131).

phihanhgia nói:
Có vô hạn các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện đề bài. Chẳng hạn a=2*n+1 và b=2*n-1. Lúc đó a*b+1=4*n^2 chia hết cho (a+b)=4*n; và a*b-1=4*n^2-2 chia hết cho (a-b)=2. Như vậy cảm nhận của bác có ít lời giải với a, b bé là cảm nhận không đúng. Không thể tiếp tục theo hướng đó được.

Tuy nhiên, vẫn có thể thử chứng minh cách khác là không có nghiệm tự nhiên a , b nào mà a^2 >= 3b^2. Theo tôi là có thể CM được theo hướng đó.

Hocamdao nói:
Rất cảm ơn kụ/mợ!
Lời giải rõ ràng, dễ hiểu!

Nhà cháu xin hỏi thêm chút (vì nghĩ là kụ/mợ cũng có liên quan tới giáo dục): Nhà cháu đọc đề thì 'khoanh vùng là a,b nhỏ và ít' nên hướng giải theo cách tìm a, b thỏa mãn (ab+1) chia hết cho (a+b) và (ab-1) chia hết cho (a-b).
Có a,b thì lắp vào -> thỏa mãn a^2<3b^2 có được không ạ?

vietnamcongtru · 18:52 26/02/2019

ngocanhpdc nói:
Bài này vận dụng các hằng đẳng thức và biến đổi công thức thôi mà:

Vế 1: (ab+1)*(ab-1) = a^2*b^2 - 1 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)
Vế 2: (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)

(ab+1) và (ab-1) lần lượt chia hết cho (a+b) và (a-b) => Tích của các số chia cũng chia hết cho các số bị chia (vế 1 chia hết cho vế 2)
=> [Vế 1] = [Vế 2]*d, trong đó d là số nguyên dương và nhỏ nhất là bằng 1
=> [Vế 1] >= (lớn hơn hoặc bằng) [Vế 2]
Suy ra: a^2*b^2 - 1 >= a^2 - b^2
Suy ra: a^2*b^2 + b^2 - 1 >= a^2
Suy ra: (a^2+1)*b^2 - 1 >= a^2
Theo đề bài a, b nguyên dương với a>b>1 => a nhỏ nhất là bằng 3 => a^2+1 >=10 (>3) Suy ra (a^2+1)*b^2 > 3b^2

Suy ra: 3b^2 - 1 >= a^2, Suy ra (bỏ 1 và dầu bằng đi) a^2 < 3b^2

Giải sai rồi Cụ

Bài này là bài khó; cụ phihanhgia giải ra hay thật.

vietnamcongtru · 18:58 26/02/2019

fatboy nói:
Cụ học thày Khải năm nào đấy? Em khóa 80-83 lớp thày Mai đây

Mấy cụ già quá

Em ở trong Nam, ngày xưa thiếu thốn sách vở, nhớ có quyển 500 bài bất đẳng thức của thầy Phan Huy Khải, anh em chuyền tay nhau coi tới mòn luôn....Thầy dạy đội tuyển em, "chôm" đâu được cuốn vở viết tay của học sinh luyện thi quốc tế, tâm đắc lắm nhưng tự giải không ra

gracyn · 19:03 26/02/2019

Lớp 6 học a^2-b^2=(a+b)(a-b) rồi hả các cụ.
Bài này vận dụng kiến thức số học đầy đủ thì dễ, nhưng em nghĩ có cách đơn giản hơn dành cho lớp nhỏ. Tối rảnh em ngồi toán thử, ok em gửi cụ thớt.

phihanhgia · 26/2/19

Tất cả các nghiệm (a,b) đạt được đẳng thức a^2= 3b^2-2 và nhỏ hơn 100,000 là như sau (đúng 7 nghiệm):

(a,b)= (19,11), (71,41), (265,153), (989,571), (3691,2131), (13775,7953), (51409,29681).

Sắn phệ · 19:38 26/02/2019

Hocamdao nói:
Chào các kụ/mợ
F1 nhà cháu nay va bài này, hỏi mà nhà cháu chịu cứng đành mang lên nhờ các kụ/mợ chỉ giúp: Cho a, b nguyên dương với a>b>1 thoả mãn (ab+1) chia hết cho (a+b) và (ab-1) chia hết cho (a-b). Chứng minh rằng a^2 < 3b^2
Xin cảm ơn các kụ/mợ!

Nhìn đề đã khoai. Các cháu giờ học khó quá.

phihanhgia · 20:47 26/02/2019

Tất cả các nghiệm (a,b) thỏa mãn điều kiện đề bài {(a*b+1) chia hết (a+b), (a*b-1) chia hết (a-b)}, đạt được đẳng thức a^2= 3b^2-2 và nhỏ hơn 1 triệu; b<=1,000,000 còn a < 1,730,000; là như sau (đúng 9 nghiệm):

(a,b)= {(19,11), (71,41), (265,153), (989,571), (3691,2131), (13775,7953), (51409,29681), (191861,110771), (716035,413403)}.

Để tìm được tất cả các nghiệm không tầm thường đến 1 triệu, thì máy tính cũng phải chạy khá lâu.

nhamkk · 21:07 26/02/2019

Lớp 6 đây á. E lớp 16 cũng chịu

Hư Truc 2016 · 21:23 26/02/2019

Ok cụ, em nhầm, đọc đoạn qua cụ giải bên trên em nghĩ cụ chứng minh USCLN=1 trong mọi trường hợp, điều này dẫn đến sai cơ bản là b chỉ có thể =1.

phihanhgia nói:
Code này ko liên quan đến bài toán đã cho. Đề bài cho b>1, còn b=1 với mọi a đều là nghiệm tầm thường. Không thỏa mãn yêu cầu b>1.
Nghiệm đích thực không tầm thường là a=2*n+1 và b=2*n-1.
Cụ thích code tìm tất cả các nghiệm (a,b) nhỏ hơn 1,000,000 thì tôi code cho cỡ 10 dòng thôi.

phihanhgia · 26/2/19

Cấu trúc nghiệm (a,b) của bài này cũng rất đơn giản. Tôi phân chia ra làm 3 loại như sau:

1) Các nghiệm đơn giản a-b=2: các cặp số lẻ cách nhau 2; a=2n+1 và b=2n-1;
2) Các nghiệm (a,b) thỏa mãn 3b^2-a^2=2 (tỷ số a/b xấp xỉ căn 3)
3) Các nghiệm còn lại a-b > 2 và 3b^2-a^2 > 2

Sau đây là tất cả 19 nghiệm dạng 2) và dạng 3) nhỏ hơn 1,000:
===========================
(a, b) a-b a/b 3b^2-a^2
===========================
(19,11) 8 1.727273 2
(41,29) 12 1.413793 842
(71,41) 30 1.731707 2
(71,55) 16 1.290909 4034
(109,89) 20 1.224719 11882
(155,131) 24 1.183206 27458
(209,181) 28 1.154696 54602
(239,169) 70 1.414201 28562
(265,153) 112 1.732026 2
(271,239) 32 1.133891 97922
(341,305) 36 1.118033 162794
(419,379) 40 1.105541 255362
(505,461) 44 1.095445 382538
(559,433) 126 1.290993 249986
(599,551) 48 1.087114 552002
(701,649) 52 1.080123 772202
(811,755) 56 1.074172 1052354
(929,869) 60 1.069045 1402442
(989,571) 418 1.732049 2
=============================
(a, b)
(19,11)
(41,29)
(71,41)
(71,55)
(109,89)
(155,131)
(209,181)
(239,169)
(265,153)
(271,239)
(341,305)
(419,379)
(505,461)
(559,433)
(599,551)
(701,649)
(811,755)
(929,869)
(989,571)

Mrphuongxd · 26/2/19

Học cho cao siêu vào rồi sau này đi làm thì đến cái căn bậc 2 và cái mũ 2 cũng hiếm khi dùng. Toàn thấy + - x : , tam suất và 1 số công thức tính diện tích, thể tích. :))

. Còn đâu hệ phương trình bậc 2, 3; còn đâu 7 hằng đẳng thức ĐÁNG NHỚ. Còn đâu đồ thị, hàm sin/cos, lim, log,... đủ kiểu. Giờ chả ai nhớ để mà dạy cho con.
Thậm chí mấy cái hàm số kiểu này ở cấp 2 thì lên cấp 3 cũng hầu như ko bao giờ đụng đến chứ đừng nói là lúc đi làm.

phihanhgia · 22:05 26/02/2019

zin79 nói:
B1, B2 ok

B3 em vẫn chưa hiểu tại sao:
1. (b^2 - 1) chia hết (a+b) và (a-b). ### cái này OK
2. USCLN (a+b) và (a-b) = 2
=> 2*(b^2-1) chia hết (a+b)*(a-b)

Nếu USCLN(a+b,a-b)=2 có nghĩa là a+b=2r và a-b=2s trong đó USCLN(r,s)=1. Tức là (b^2-1) chia hết cho 2r và 2s, tức là (b^2-1)/2 chia hết cho r và s, và hai số này nguyên tố cùng nhau, nên (b^2-1)/2 chia hết cho r*s. Đồng nghĩa với 2(b^2-1) chia hết cho 4*r*s=(a+b)*(a-b)=(a^2-b^2). QED.

Mrphuongxd · 22:09 26/02/2019

ngocanhpdc nói:
Bài này vận dụng các hằng đẳng thức và biến đổi công thức thôi mà:

Vế 1: (ab+1)*(ab-1) = a^2*b^2 - 1 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)
Vế 2: (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2 (Hằng đẳng thức đáng nhớ - hiệu 2 bình phương)

(ab+1) và (ab-1) lần lượt chia hết cho (a+b) và (a-b) => Tích của các số chia cũng chia hết cho các số bị chia (vế 1 chia hết cho vế 2)
=> [Vế 1] = [Vế 2]*d, trong đó d là số nguyên dương và nhỏ nhất là bằng 1
=> [Vế 1] >= (lớn hơn hoặc bằng) [Vế 2]
Suy ra: a^2*b^2 - 1 >= a^2 - b^2
Suy ra: a^2*b^2 + b^2 - 1 >= a^2
Suy ra: (a^2+1)*b^2 - 1 >= a^2
Theo đề bài a, b nguyên dương với a>b>1 => a nhỏ nhất là bằng 3 => a^2+1 >=10 (>3) Suy ra (a^2+1)*b^2 > 3b^2

Suy ra: 3b^2 - 1 >= a^2, Suy ra (bỏ 1 và dầu bằng đi) a^2 < 3b^2

Cụ này chắc theo nghề giáo viên dạy toán. :))

[Funland] Toán lớp 6, xin nhờ các kụ/mợ

Xe tăng

Xe container

Xe container

Xe container

Xe container

Xe container

Xe tăng

Xe container

Xe tăng

Xe tăng

Xe máy

Xe container

Xe buýt

Xe container

Xe hơi

Xe tải

Xe container

Xe tải

Xe container

Xe tải

Thông tin thớt