[Funland] Chứng minh định lý về đường trung tuyến của tam giác (Lớp 7)

[paulsteigel]

Cảm ơn các cụ, sau khi được các cụ thông não thì bài này giải bằng diện tích là đơn giản nhất để giải thích cho nhóc ở nhà! Nó hỏi đơn giản là vì nó bảo, cô không giải thích mà chỉ nói tính chất là như thế! Em thì hay mò mẫn giải theo phương pháp hình học nên quên mất!
Cảm ơn các cụ nhiều nhiều ạ.

 

[Of.NguyenLinh]

Cảm ơn các cụ, sau khi được các cụ thông não thì bài này giải bằng diện tích là đơn giản nhất để giải thích cho nhóc ở nhà! Nó hỏi đơn giản là vì nó bảo, cô không giải thích mà chỉ nói tính chất là như thế! Em thì hay mò mẫn giải theo phương pháp hình học nên quên mất!
Cảm ơn các cụ nhiều nhiều ạ.

Cách của cụ đúng đấy.
Trừ tiên đề ra còn tất cả nên tự làm từ đầu.
Lúc đi thi thì dùng luôn định lý cho nhanh.
Các bộ não hoạt động nhẹ nhàng nhất là logic, không cần nhớ quá nhiều, chỉ cần nhớ cái gốc là làm được hết thì mới tốt

 

[Langthang_Mercedes]

Học toán là học 1 phải suy ra 2,3
Chứng minh được 3 đường trung tuyến giao nhau tại 1 điểm mà còn ko suy ra được cái còn lại nữa thì ko nên học toán làm gì. Học cái khác có tương lai hơn, em thật. Ngày xưa em đi học mà còn hỏi nữa thì thầy sẽ ko trả lời, còn bạn thì chửi ngu. Đau khổ lắm.

Bạn bè của cụ ngày đó thành đạt cả chứ? Bạn em, những thằng chứng minh được ngay, không phải hỏi ai và chửi em ngu có vài đứa đã vào viện tâm thần, bọn còn lại cũng thấy bình thường như em.

 

[paulsteigel]

Bạn bè của cụ ngày đó thành đạt cả chứ?

Cảm ơn cụ, bạn bè ngày đó (cấp 1-2 thì cũng khá), cấp 3 thì thành đạt cả, chỉ có em là lèo tèo, kém cỏi thui cụ ợ!

 

[6997]

Bẩm các Cụ,
Chuyện là hôm nay nhóc nhà em đòi bố giảng cho toán lớp 7, đến phần đường trung tuyến, nhóc hỏi một câu mà em thấy cũng hơi bí:
"Bố ơi, tại sao người ta lại biết rằng "Khoảng cách từ trọng tâm đến 1 đỉnh bằng 2/3 khoảng cách độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó". Em phải mất một lúc và xin khất, đến trưa nay mới dám ngồi bi bô.
E nhớ ngày xưa hồi học thì thầy có ra bài toán này nhưng không hiểu sao bây giờ không thấy cô giáo giải thích cho bọn nhóc về việc chứng minh định lý, thầy em bẩu là Định lý thì chứng minh được nhưng Tiên đề thì chấp nhận nó là đương nhiên thôi. Theo em nhớ thì hình như chỉ có định lý Pitago là chưa chứng minh được bằng phương pháp hình học.

Ok quay lại bài con nhóc hỏi, các cụ cho em hỏi có cách nào chứng minh được mà không phải dùng đến kiến thức lớp 8 không ạ (em phải dùng đến hình đồng dạng mới chứng minh được). Cách làm của em như sau:

View attachment 6162011
Vẽ tam giác ABC và trọng tâm của nó, từ trọng tâm và trung tuyến AD, kéo dài một đoạn sao cho GH=GA.
Giờ chỉ cần chứng minh GD=DH là được.
Để chứng minh điều này, em chứng minh tam giác CGD= Tam giác DHB. Muốn chứng minh điều này thì em chứng minh HB song song với CG (cái này thì rất dễ theo phương pháp hình đồng dạng nhưng lớp 7 chưa học nên em phải dùng cách tương tự)
Cách suy luận tương tự như sau:
Chứng minh rằng đường nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác sẽ song song với cạnh đáy.
lấy trường hợp tam giác ABC với đỉnh A, đường nối FE sẽ song song với BC vì diện tích 2 tam giác BCE và BCF bằng nhau (vì các đường BF và CE là các đường trung tuyến nên có chia tam giác thành 2 tam giác con bằng nhau).
2 tam giác này có chung cạnh đáy là BC nên đường cao hạ từ đỉnh xuống BC cũng bằng nhau. Theo kiến thức về đường thẳng song song thì đường nối 2 điểm có cùng khoảng cách, cùng phía so với một đường thẳng sẽ song song với nó >> EF song song với BC.

Từ kết luận này suy ra GE song song với HB
Do đó tam giác CGD=tam giác BHD (Góc- cạnh - góc) do:
+ Góc GCD = DBH (góc so le trong của 2 đường song song)
+ Cạnh CD= DB (trung tuyến)
+ Góc GDC= Góc BDH
do đó DG=DH suy ra AG=2/3 AD chứng minh xong.
Làm xong thế này cho con, nó cũng ù đầu. Các cụ có cách nào thông não hộ em phát (cách đơn giản theo lớp 7 ạ)! tks các cụ

Kính cụ
Em dùng so sánh diện tích các tam giác ( = 1/2 đáy x đường cao)

 

[Langthang_Mercedes]

Cảm ơn cụ, bạn bè ngày đó (cấp 1-2 thì cũng khá), cấp 3 thì thành đạt cả, chỉ có em là lèo tèo, kém cỏi thui cụ ợ!

Em hỏi cụ Ả Rập cơ, thấy bạn bè và cả cụ ấy nữa, giỏi thật!

 

[ThinhVNM]

Bẩm các Cụ,
Chuyện là hôm nay nhóc nhà em đòi bố giảng cho toán lớp 7, đến phần đường trung tuyến, nhóc hỏi một câu mà em thấy cũng hơi bí:
"Bố ơi, tại sao người ta lại biết rằng "Khoảng cách từ trọng tâm đến 1 đỉnh bằng 2/3 khoảng cách độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó". Em phải mất một lúc và xin khất, đến trưa nay mới dám ngồi bi bô.
E nhớ ngày xưa hồi học thì thầy có ra bài toán này nhưng không hiểu sao bây giờ không thấy cô giáo giải thích cho bọn nhóc về việc chứng minh định lý, thầy em bẩu là Định lý thì chứng minh được nhưng Tiên đề thì chấp nhận nó là đương nhiên thôi. Theo em nhớ thì hình như chỉ có định lý Pitago là chưa chứng minh được bằng phương pháp hình học.

Ok quay lại bài con nhóc hỏi, các cụ cho em hỏi có cách nào chứng minh được mà không phải dùng đến kiến thức lớp 8 không ạ (em phải dùng đến hình đồng dạng mới chứng minh được). Cách làm của em như sau:

View attachment 6162011
Vẽ tam giác ABC và trọng tâm của nó, từ trọng tâm và trung tuyến AD, kéo dài một đoạn sao cho GH=GA.
Giờ chỉ cần chứng minh GD=DH là được.
Để chứng minh điều này, em chứng minh tam giác CGD= Tam giác DHB. Muốn chứng minh điều này thì em chứng minh HB song song với CG (cái này thì rất dễ theo phương pháp hình đồng dạng nhưng lớp 7 chưa học nên em phải dùng cách tương tự)
Cách suy luận tương tự như sau:
Chứng minh rằng đường nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác sẽ song song với cạnh đáy.
lấy trường hợp tam giác ABC với đỉnh A, đường nối FE sẽ song song với BC vì diện tích 2 tam giác BCE và BCF bằng nhau (vì các đường BF và CE là các đường trung tuyến nên có chia tam giác thành 2 tam giác con bằng nhau).
2 tam giác này có chung cạnh đáy là BC nên đường cao hạ từ đỉnh xuống BC cũng bằng nhau. Theo kiến thức về đường thẳng song song thì đường nối 2 điểm có cùng khoảng cách, cùng phía so với một đường thẳng sẽ song song với nó >> EF song song với BC.

Từ kết luận này suy ra GE song song với HB
Do đó tam giác CGD=tam giác BHD (Góc- cạnh - góc) do:
+ Góc GCD = DBH (góc so le trong của 2 đường song song)
+ Cạnh CD= DB (trung tuyến)
+ Góc GDC= Góc BDH
do đó DG=DH suy ra AG=2/3 AD chứng minh xong.
Làm xong thế này cho con, nó cũng ù đầu. Các cụ có cách nào thông não hộ em phát (cách đơn giản theo lớp 7 ạ)! tks các cụ

Em thì làm ngược lại cụ, em cho GD = DH rồi em chứng minh GH = AG. Cách làm của em như sau:
GD=DH --> hình tứ giác CGBH là hình thoi suy ra CE//BH. Em chứng mình tam giác AGE = tam giác EKB, với EK là đường hạ song song với AH.
nên EK = GH. Xét 2 tam giác ta có: Góc A = góc E, Cạnh AE = EB, Góc AEG = góc EBG do --> 2 tam giác bằng nhau, suy ra AG=EK=GH. Xong ạ.

 

[paulsteigel]

Em xin chân thành cảm ơn các cụ đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo. Cơ bản là bài toán đã giải xong và em cũng đã giải thích xong cho con gái, Phương pháp diện tích, rất đơn giản và dễ hiểu ạ!
Chúc các cụ một ngày vui vẻ ợ!

 

[Rượu Ngô]

Đầu tiên cụ chứng minh 6 tam giác nhỏ chia bởi các đường trung tuyến bằng nhau (dựa vào tam giác bằng nhau nếu chung đường cao và đáy bằng nhau)
Khi đó SAGB = 2*SBGD
=> AG = 2 AD do cùng chiều cao hạ từ B
Em đang dùng điện thoại nên hạn chế viết nhiều

Cụ chuẩn

 

[Arabia]

Bạn bè của cụ ngày đó thành đạt cả chứ? Bạn em, những thằng chứng minh được ngay, không phải hỏi ai và chửi em ngu có vài đứa đã vào viện tâm thần, bọn còn lại cũng thấy bình thường như em.

Tiêu chuẩn thành đạt nó khác nhau, chả biết trả lời thế nào, có thể là thành đạt với em nhưng chưa chắc đã là thành đạt với cụ. Có thằng tay trắng làm nên tài sản hơn chục triệu Biden chỉ sau vài năm ra trường hai mấy tuổi, thành đạt hay ko thì tùy người đánh giá ạ

 

[thaomoc]

Hay phết

 

[Arabia]

Em hỏi cụ Ả Rập cơ, thấy bạn bè và cả cụ ấy nữa, giỏi thật!

Em là thành phần luôn bị coi là ngu dốt từ xưa đến giờ ạ. Nhìn bạn bè tìm được người ngu hơn mình hơi bị khó. Em điên lắm nên sẵn sàng đắp tất vào F1 cho nó trả thù.

 

[ung_sung_tu_tai]

Vâng.
Trong toán học, có những thứ mà họ goi là mệnh đề, định lý, tính chất này nọ... như là những điều mà HÃY CÔNG NHẬN LÀ THẾ.

Có những nhà toán học mất cả đời để đi chứng minh một cái tính chất/định lý nào đó mà nào có được.

Ví dụ như cái mối liên hệ giữa độ dài 3 cạnh tam giác vuông thì người ta vẫn sử dụng, cho đến khi ông Pi ta go chứng minh được thì lấy tên ông đặt cho cái định lý ấy.
Và nhiều ví dụ nữa; kiểu ông nào chứng minh được thì lấy tên ống ấy đặt, trong toán học có mà đầy

Hay ví dụ gần ta nhất là cái bổ dề "thổ tả" nào ý, cả thế giới dùng mãi, cứ thế mà dùng, có ai chứng minh được đâu, đến tận khi ông Ngô Bảo Châu ổng chứng được/giải được thì ổng nhận giả thưởng.

Cả giới toàn học còn thế.
Giờ ộp phơ lại đòi đâm đầu vào làm sao để chứng minh....

Chứng minh làm gì....Cụ bảo nhóc nhà cụ cứ công nhận thế đi, bao nhiêu kiến thức cơ bản Toán-Lý-Hóa....các nhà Bác học khoa học cơ bản đã chứng minh từ thế kỷ 19 hết rồi, cứ công nhận và học đi, khi nào học xong lớp 12, nếu có thời gian thì lúc đó chứng minh.

Người ta đã cm rồi, giờ chỉ nhớ thôi, cứ thế mà theo, cũng như tiền nhà nc in ra, cứ đổi công sức ra lấy về mà tiêu, thắc mắc nhà nước làm ntn thì mệt lắm
Cụ bảo với cháu thế cho nhanh

Cứ công nhận là được bác ơi. Người ta đã chứng minh rồi.
Em nhớ sgk chứng minh bằng cách chỉ ra rằng 6 tam giác nhỏ chung đỉnh G có diện tích bằng nhau.
Sau đó chẳng hạn theo hình vẽ của Cụ ta xét ông tg BGA có diện tích gấp 2 lần ông tam giác BGD là xong

Cách của cụ đúng đấy.
Trừ tiên đề ra còn tất cả nên tự làm từ đầu.
Lúc đi thi thì dùng luôn định lý cho nhanh.
Các bộ não hoạt động nhẹ nhàng nhất là logic, không cần nhớ quá nhiều, chỉ cần nhớ cái gốc là làm được hết thì mới tốt

 

[Of.NguyenLinh]

Vâng.
Trong toán học, có những thứ mà họ goi là mệnh đề, định lý, tính chất này nọ... như là những điều mà HÃY CÔNG NHẬN LÀ THẾ.

Có những nhà toán học mất cả đời để đi chứng minh một cái tính chất/định lý nào đó mà nào có được.

Ví dụ như cái mối liên hệ giữa độ dài 3 cạnh tam giác vuông thì người ta vẫn sử dụng, cho đến khi ông Pi ta go chứng minh được thì lấy tên ông đặt cho cái định lý ấy.
Và nhiều ví dụ nữa; kiểu ông nào chứng minh được thì lấy tên ống ấy đặt, trong toán học có mà đầy

Hay ví dụ gần ta nhất là cái bổ dề "thổ tả" nào ý, cả thế giới dùng mãi, cứ thế mà dùng, có ai chứng minh được đâu, đến tận khi ông Ngô Bảo Châu ổng chứng được/giải được thì ổng nhận giả thưởng.

Cả giới toàn học còn thế.
Giờ ộp phơ lại đòi đâm đầu vào làm sao để chứng minh....

Cụ đang nhầm lẫn đấy.
Cụ thớt bảo là cô giáo không chứng minh, là cô giáo sai đấy cụ ơi (hoặc con cụ chủ nhớ sai).
Trong video em dẫn ở trang trước, người ta chứng minh đàng hoàng.
Định lý khi học cụ sẽ được dạy cách chứng minh nó, đó là tư duy căn bản của toán học rồi.
Còn em có bảo rồi, khi đi thi thì không cần, sau này đi làm cái gì liên quan tới toán cũng không cần chứng minh lại, cứ vậy mà triển khai thôi.
Nó rất quan trọng trong luồng tư duy nếu xác định sau này đi nghiệp toán học hoặc cái gì liên quan tới toán học

 

[pbinh979]

Vâng.
Trong toán học, có những thứ mà họ goi là mệnh đề, định lý, tính chất này nọ... như là những điều mà HÃY CÔNG NHẬN LÀ THẾ.

Có những nhà toán học mất cả đời để đi chứng minh một cái tính chất/định lý nào đó mà nào có được.

Ví dụ như cái mối liên hệ giữa độ dài 3 cạnh tam giác vuông thì người ta vẫn sử dụng, cho đến khi ông Pi ta go chứng minh được thì lấy tên ông đặt cho cái định lý ấy.
Và nhiều ví dụ nữa; kiểu ông nào chứng minh được thì lấy tên ống ấy đặt, trong toán học có mà đầy

Hay ví dụ gần ta nhất là cái bổ dề "thổ tả" nào ý, cả thế giới dùng mãi, cứ thế mà dùng, có ai chứng minh được đâu, đến tận khi ông Ngô Bảo Châu ổng chứng được/giải được thì ổng nhận giả thưởng.

Cả giới toàn học còn thế.
Giờ ộp phơ lại đòi đâm đầu vào làm sao để chứng minh....

Cụ nhầm đấy ạ. Trong TOÁN HỌC chỉ có TIÊN ĐỀ LÀ tự công nhận, những cái còn lại đều dựa vào TIÊN ĐỀ để CHỨNG MINH với 1 lập luận lô gic và chặt chẽ. mệnh đề, định lý, tính chất ... đều được chứng minh cả. Ai thích học thì nhớ mãi những bài chứng minh (ngay phần đầu bài lí thuyết) và nó ăn sâu rất khó quên.
Ai ko thích học thì nhớ công thức ko thôi và HÃY CÔNG NHẬN LÀ THẾ. Có thể họ rất thành công ở lĩnh vực khác như buôn bán, nấu ăn ... họ cần gì nhớ lí thuyết ...
Tất nhiên không so bì bé học giỏi lớn lên lại chả làm được gì? ... những cái đó rất khập khiễng.
Em là chuyên A từ 1-12, đến bây h vẫn nhớ và giảng được Toán Lý cấp 2 cho thằng cu (phải đọc lại sách). nhiều kiến thức cơ bản không bao h quên cả, VD trong Vật lý: đạo hàm của quãng đường là vận tốc, đạo hàm của vận tốc là gia tốc (độ biến thiên) - có mấy ai hớn 40 mà còn nhớ đâu.
Nhưng lại thi ĐH và làm khối xã hội. không giàu có, cũng chả coi là thành công. Nhưng ung dung tự tại. thế là sướng. Còn F1 nó chả có tí gien nào của mình cả. KỆ thôi.
Những bài như thế này cu nhà em mà hỏi, em đọc lại SGK của nó (để ko dùng kiến thức vượt cấp) giảng cho ra thì thôi.

 

[paulsteigel]

Cụ đang nhầm lẫn đấy.
Cụ thớt bảo là cô giáo không chứng minh, là cô giáo sai đấy cụ ơi (hoặc con cụ chủ nhớ sai).
Trong video em dẫn ở trang trước, người ta chứng minh đàng hoàng.
Định lý khi học cụ sẽ được dạy cách chứng minh nó, đó là tư duy căn bản của toán học rồi.
Còn em có bảo rồi, khi đi thi thì không cần, sau này đi làm cái gì liên quan tới toán cũng không cần chứng minh lại, cứ vậy mà triển khai thôi.
Nó rất quan trọng trong luồng tư duy nếu xác định sau này đi nghiệp toán học hoặc cái gì liên quan tới toán học

Sau khi xem xong cái video em cũng bẩu con là, con quên thì phải vì bố thấy cô giáo trên mạng khi dạy có giảng. Ngày xưa bố học thì thầy cũng cho bố và các bạn chứng minh trước, sau đó chữa và dạy cách tư duy. Bố không nhớ nên nay mới phải cạy cục làm theo cách khó hiểu. Giờ có các hướng dẫn trên mạng thì bố bày cho 2 phương pháp
1. Dùng diện tích: đơn giản
2. Dùng hình học
Con gái thừa nhận là con cũng không nhớ rõ nữa nhưng sau khi bố bảo con hỏi bạn con - nó dùng cách 1 (diện tích) bố ạ!
Củm ơn các cụ đã chia sẻ nhé! Chắc ta nên thôi vậy ạ!
Em đăng bài hỏi chỉ là tìm một phương án đơn giản vì nếu con trẻ thích hỏi đến nơi thì mình cũng nên giúp chúng. Còn chuyện thành công hay không em chả dám bàn vì em cũng đủ kém cỏi và không dám nói chi hết ợ!

 

[Of.NguyenLinh]

Sau khi xem xong cái video em cũng bẩu con là, con quên thì phải vì bố thấy cô giáo trên mạng khi dạy có giảng. Ngày xưa bố học thì thầy cũng cho bố và các bạn chứng minh trước, sau đó chữa và dạy cách tư duy. Bố không nhớ nên nay mới phải cạy cục làm theo cách khó hiểu. Giờ có các hướng dẫn trên mạng thì bố bày cho 2 phương pháp
1. Dùng diện tích: đơn giản
2. Dùng hình học
Con gái thừa nhận là con cũng không nhớ rõ nữa nhưng sau khi bố bảo con hỏi bạn con - nó dùng cách 1 (diện tích) bố ạ!
Củm ơn các cụ đã chia sẻ nhé! Chắc ta nên thôi vậy ạ!
Em đăng bài hỏi chỉ là tìm một phương án đơn giản vì nếu con trẻ thích hỏi đến nơi thì mình cũng nên giúp chúng. Còn chuyện thành công hay không em chả dám bàn vì em cũng đủ kém cỏi và không dám nói chi hết ợ!

Toán thì mấy ai theo được đâu cụ
Con nó học đạt điểm 5 là được rồi!
Nó giỏi cái khác, nó thích cái nào và theo đuổi hay không mới là quan trọng mà

 

[paulsteigel]

...
Những bài như thế này cu nhà em mà hỏi, em đọc lại SGK của nó (để ko dùng kiến thức vượt cấp) giảng cho ra thì thôi.

Em cũng đồng quan điểm cụ chủ, chỉ có điều sách của nhóc nhà em lại không ghi, bố hỏi con, cô giáo phải chứng minh rồi chứ, con gái bảo "Con chỉ ghi thế, có thể con quên ạ"
Tuy thế, với mong muốn dạy con các tìm kiếm giải pháp và gây dựng sự thích thú với học hành cho nó, em phải cạy cục tìm phương án phù hợp và đơn giản nhất để nó hiểu.
Khi nó thích thì nó sẽ học mọi môn một cách dễ dàng. Hiện tại, em thấy bọn trẻ bị quá tải (không học ít như mình ngày xưa) và không được dạy phương pháp tư duy như ngày xưa (có thể con bé nhà em là trường công làng nhàng) nên muốn giúp nó chút ợ!

 

[vihali]

Lớp 7 đã học Thales, đoạn chắn tỉ lệ.

Cụ bảo cháu chứng minh
GD=2/3FN
FN=1/2AD

là ra GD=1/3AD

 

[Xeomchocon]

Lớp 7 trong SGK công nhận không chứng minh các định lý về 3 đường tuyến và 3 đường cao nhưng ở các lớp chọn thì đó chình là BÀI TẬP, trong các sách hơi nâng cao một ít đều bắt chưng minh các bài này.