[Funland] Chứng minh định lý về đường trung tuyến của tam giác (Lớp 7)

[paulsteigel]

Bẩm các Cụ,
Chuyện là hôm nay nhóc nhà em đòi bố giảng cho toán lớp 7, đến phần đường trung tuyến, nhóc hỏi một câu mà em thấy cũng hơi bí:
"Bố ơi, tại sao người ta lại biết rằng "Khoảng cách từ trọng tâm đến 1 đỉnh bằng 2/3 khoảng cách độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó". Em phải mất một lúc và xin khất, đến trưa nay mới dám ngồi bi bô.
E nhớ ngày xưa hồi học thì thầy có ra bài toán này nhưng không hiểu sao bây giờ không thấy cô giáo giải thích cho bọn nhóc về việc chứng minh định lý, thầy em bẩu là Định lý thì chứng minh được nhưng Tiên đề thì chấp nhận nó là đương nhiên thôi. Theo em nhớ thì hình như chỉ có định lý Pitago là chưa chứng minh được bằng phương pháp hình học.

Ok quay lại bài con nhóc hỏi, các cụ cho em hỏi có cách nào chứng minh được mà không phải dùng đến kiến thức lớp 8 không ạ (em phải dùng đến hình đồng dạng mới chứng minh được). Cách làm của em như sau:

Vẽ tam giác ABC và trọng tâm của nó, từ trọng tâm và trung tuyến AD, kéo dài một đoạn sao cho GH=GA.
Giờ chỉ cần chứng minh GD=DH là được.
Để chứng minh điều này, em chứng minh tam giác CGD= Tam giác DHB. Muốn chứng minh điều này thì em chứng minh HB song song với CG (cái này thì rất dễ theo phương pháp hình đồng dạng nhưng lớp 7 chưa học nên em phải dùng cách tương tự)
Cách suy luận tương tự như sau:
Chứng minh rằng đường nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác sẽ song song với cạnh đáy.
lấy trường hợp tam giác ABC với đỉnh A, đường nối FE sẽ song song với BC vì diện tích 2 tam giác BCE và BCF bằng nhau (vì các đường BF và CE là các đường trung tuyến nên có chia tam giác thành 2 tam giác con bằng nhau).
2 tam giác này có chung cạnh đáy là BC nên đường cao hạ từ đỉnh xuống BC cũng bằng nhau. Theo kiến thức về đường thẳng song song thì đường nối 2 điểm có cùng khoảng cách, cùng phía so với một đường thẳng sẽ song song với nó >> EF song song với BC.

Từ kết luận này suy ra GE song song với HB
Do đó tam giác CGD=tam giác BHD (Góc- cạnh - góc) do:
+ Góc GCD = DBH (góc so le trong của 2 đường song song)
+ Cạnh CD= DB (trung tuyến)
+ Góc GDC= Góc BDH
do đó DG=DH suy ra AG=2/3 AD chứng minh xong.
Làm xong thế này cho con, nó cũng ù đầu. Các cụ có cách nào thông não hộ em phát (cách đơn giản theo lớp 7 ạ)! tks các cụ

 

[Đại tướng Alo]

Chứng minh làm gì....Cụ bảo nhóc nhà cụ cứ công nhận thế đi, bao nhiêu kiến thức cơ bản Toán-Lý-Hóa....các nhà Bác học khoa học cơ bản đã chứng minh từ thế kỷ 19 hết rồi, cứ công nhận và học đi, khi nào học xong lớp 12, nếu có thời gian thì lúc đó chứng minh.

 

[Kacar1102]

Đến em còn thấy u đầu nữa là con cụ, dù xưa em cũng từng có giải toán tỉnh.. Hic.
Ủn lên cho cụ dưới giúp cụ.

 

[paulsteigel]

Chứng minh làm gì....Cụ bảo nhóc nhà cụ cứ công nhận thế đi, bao nhiêu kiến thức cơ bản Toán-Lý-Hóa....các nhà Bác học khoa học cơ bản đã chứng minh từ thế kỷ 19 hết rồi, cứ công nhận và học đi, khi nào học xong lớp 12, nếu có thời gian thì lúc đó chứng minh.

Haiz - bọn nó thích mày mò cụ ợ - mình cũng không nên ngáng nó - mặc dù e có bảo vại nhưng nó vẫn không hài lòng, cứ băn khoăn ợ, vì thế bố mới phải mò ợ!

 

[shiluo]

Bài này dùng kiến thức lớp 5 giải được nhé cụ

 

[Trần Đoành.]

Người ta đã cm rồi, giờ chỉ nhớ thôi, cứ thế mà theo, cũng như tiền nhà nc in ra, cứ đổi công sức ra lấy về mà tiêu, thắc mắc nhà nước làm ntn thì mệt lắm
Cụ bảo với cháu thế cho nhanh

 

[paulsteigel]

Bài này dùng kiến thức lớp 5 giải được nhé cụ

Thế cụ giúp em với ạ!

 

[shiluo]

Thế cụ giúp em với ạ!

Đầu tiên cụ chứng minh 6 tam giác nhỏ chia bởi các đường trung tuyến bằng nhau (dựa vào tam giác bằng nhau nếu chung đường cao và đáy bằng nhau)
Khi đó SAGB = 2*SBGD
=> AG = 2 AD do cùng chiều cao hạ từ B
Em đang dùng điện thoại nên hạn chế viết nhiều

 

[Arabia]

Dùng diện tích thôi. Giả dụ G là giao của 2 đường trung tuyến từ B và C
Trung tuyết từ B --> S(GAB)=S(GBC)
Trung tuyến từ C --> S(GAC)=S(GBC)
Từ đấy suy ra S(GAB)=S(GAC)
Suy ra đường cao hạ từ B và C xuống AG là như nhau
Suy tiếp S(GDB)=S(GDC)
mà 2 thằng này chung đường cao hạ từ G xuống BC
Suy ra D là trung điểm BC

 

[Đại tướng Alo]

Haiz - bọn nó thích mày mò cụ ợ - mình cũng không nên ngáng nó - mặc dù e có bảo vại nhưng nó vẫn không hài lòng, cứ băn khoăn ợ, vì thế bố mới phải mò ợ!

Gợi ý cụ là cụ nên đặt tam giác của cụ vào trong 1 hình tròn, 3 đỉnh tam giác nằm trên đường tròn xem...

 

[Langthang_Mercedes]

Bẩm các Cụ,
Chuyện là hôm nay nhóc nhà em đòi bố giảng cho toán lớp 7, đến phần đường trung tuyến, nhóc hỏi một câu mà em thấy cũng hơi bí:
"Bố ơi, tại sao người ta lại biết rằng "Khoảng cách từ trọng tâm đến 1 đỉnh bằng 2/3 khoảng cách độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó". Em phải mất một lúc và xin khất, đến trưa nay mới dám ngồi bi bô.
E nhớ ngày xưa hồi học thì thầy có ra bài toán này nhưng không hiểu sao bây giờ không thấy cô giáo giải thích cho bọn nhóc về việc chứng minh định lý, thầy em bẩu là Định lý thì chứng minh được nhưng Tiên đề thì chấp nhận nó là đương nhiên thôi. Theo em nhớ thì hình như chỉ có định lý Pitago là chưa chứng minh được bằng phương pháp hình học.

Ok quay lại bài con nhóc hỏi, các cụ cho em hỏi có cách nào chứng minh được mà không phải dùng đến kiến thức lớp 8 không ạ (em phải dùng đến hình đồng dạng mới chứng minh được). Cách làm của em như sau:

View attachment 6162011
Vẽ tam giác ABC và trọng tâm của nó, từ trọng tâm và trung tuyến AD, kéo dài một đoạn sao cho GH=GA.
Giờ chỉ cần chứng minh GD=DH là được.
Để chứng minh điều này, em chứng minh tam giác CGD= Tam giác DHB. Muốn chứng minh điều này thì em chứng minh HB song song với CG (cái này thì rất dễ theo phương pháp hình đồng dạng nhưng lớp 7 chưa học nên em phải dùng cách tương tự)
Cách suy luận tương tự như sau:
Chứng minh rằng đường nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác sẽ song song với cạnh đáy.
lấy trường hợp tam giác ABC với đỉnh A, đường nối FE sẽ song song với BC vì diện tích 2 tam giác BCE và BCF bằng nhau (vì các đường BF và CE là các đường trung tuyến nên có chia tam giác thành 2 tam giác con bằng nhau).
2 tam giác này có chung cạnh đáy là BC nên đường cao hạ từ đỉnh xuống BC cũng bằng nhau. Theo kiến thức về đường thẳng song song thì đường nối 2 điểm có cùng khoảng cách, cùng phía so với một đường thẳng sẽ song song với nó >> EF song song với BC.

Từ kết luận này suy ra GE song song với HB
Do đó tam giác CGD=tam giác BHD (Góc- cạnh - góc) do:
+ Góc GCD = DBH (góc so le trong của 2 đường song song)
+ Cạnh CD= DB (trung tuyến)
+ Góc GDC= Góc BDH
do đó DG=DH suy ra GA=2/3 AD chứng minh xong.
Làm xong thế này cho con, nó cũng ù đầu. Các cụ có cách nào thông não hộ em phát (cách đơn giản theo lớp 7 ạ)! tks các cụ

Cũng đúng nhưng hơi lòng vòng đâm khó hiểu. Cụ kéo dài DH=DG là đủ.

Tam giác CGD = DHB theo trường hợp cạnh góc cạnh (có góc D đối đỉnh). Bằng nhau xong rồi thì suy ra GE song song HB và bằng 1/2 HB vì là đường trung bình, HB=GC do 2 tam giác trên bằng nhau suy ra GE=1/2 GC

 

[paulsteigel]

Dùng diện tích thôi. Giả dụ G là giao của 2 đường trung tuyến từ B và C
Trung tuyết từ B --> S(GAB)=S(GBC)
Trung tuyến từ C --> S(GAC)=S(GBC)
Từ đấy suy ra S(GAB)=S(GAC)
Suy ra đường cao hạ từ B và C xuống AG là như nhau
Suy tiếp S(GDB)=S(GDC)
mà 2 thằng này chung đường cao hạ từ G xuống BC
Suy ra D là trung điểm BC

Cụ ơi, chứng minh GA=2/3 của AD mà cụ!

 

[Arabia]

Cụ ơi, chứng minh GA=2/3 của AD mà cụ!

Học toán là học 1 phải suy ra 2,3
Chứng minh được 3 đường trung tuyến giao nhau tại 1 điểm mà còn ko suy ra được cái còn lại nữa thì ko nên học toán làm gì. Học cái khác có tương lai hơn, em thật. Ngày xưa em đi học mà còn hỏi nữa thì thầy sẽ ko trả lời, còn bạn thì chửi ngu. Đau khổ lắm.

 

[paulsteigel]

Học toán là học 1 phải suy ra 2,3
Chứng minh được 3 đường trung tuyến giao nhau tại 1 điểm mà còn ko suy ra được cái còn lại nữa thì ko nên học toán làm gì. Học cái khác có tương lai hơn, em thật.

Cụ giỏi quá, em thua cụ rùi ạ!

 

[AcMilan90]

Đây, gửi cụ. Tam giác AGN= MGB (g.c.g)

 

[ltlinh]

Bẩm các Cụ,
Chuyện là hôm nay nhóc nhà em đòi bố giảng cho toán lớp 7, đến phần đường trung tuyến, nhóc hỏi một câu mà em thấy cũng hơi bí:
"Bố ơi, tại sao người ta lại biết rằng "Khoảng cách từ trọng tâm đến 1 đỉnh bằng 2/3 khoảng cách độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó". Em phải mất một lúc và xin khất, đến trưa nay mới dám ngồi bi bô.
E nhớ ngày xưa hồi học thì thầy có ra bài toán này nhưng không hiểu sao bây giờ không thấy cô giáo giải thích cho bọn nhóc về việc chứng minh định lý, thầy em bẩu là Định lý thì chứng minh được nhưng Tiên đề thì chấp nhận nó là đương nhiên thôi. Theo em nhớ thì hình như chỉ có định lý Pitago là chưa chứng minh được bằng phương pháp hình học.

Ok quay lại bài con nhóc hỏi, các cụ cho em hỏi có cách nào chứng minh được mà không phải dùng đến kiến thức lớp 8 không ạ (em phải dùng đến hình đồng dạng mới chứng minh được). Cách làm của em như sau:

View attachment 6162011
Vẽ tam giác ABC và trọng tâm của nó, từ trọng tâm và trung tuyến AD, kéo dài một đoạn sao cho GH=GA.
Giờ chỉ cần chứng minh GD=DH là được.
Để chứng minh điều này, em chứng minh tam giác CGD= Tam giác DHB. Muốn chứng minh điều này thì em chứng minh HB song song với CG (cái này thì rất dễ theo phương pháp hình đồng dạng nhưng lớp 7 chưa học nên em phải dùng cách tương tự)
Cách suy luận tương tự như sau:
Chứng minh rằng đường nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác sẽ song song với cạnh đáy.
lấy trường hợp tam giác ABC với đỉnh A, đường nối FE sẽ song song với BC vì diện tích 2 tam giác BCE và BCF bằng nhau (vì các đường BF và CE là các đường trung tuyến nên có chia tam giác thành 2 tam giác con bằng nhau).
2 tam giác này có chung cạnh đáy là BC nên đường cao hạ từ đỉnh xuống BC cũng bằng nhau. Theo kiến thức về đường thẳng song song thì đường nối 2 điểm có cùng khoảng cách, cùng phía so với một đường thẳng sẽ song song với nó >> EF song song với BC.

Từ kết luận này suy ra GE song song với HB
Do đó tam giác CGD=tam giác BHD (Góc- cạnh - góc) do:
+ Góc GCD = DBH (góc so le trong của 2 đường song song)
+ Cạnh CD= DB (trung tuyến)
+ Góc GDC= Góc BDH
do đó DG=DH suy ra GA=2/3 AD chứng minh xong.
Làm xong thế này cho con, nó cũng ù đầu. Các cụ có cách nào thông não hộ em phát (cách đơn giản theo lớp 7 ạ)! tks các cụ

Lớp 6 lag giải được rồi, kiến thức cụ lỗ chỗ, định lý pitago lại là tiên đề.
Cách giải cụ thể

1. vì BF là trung tuyến nên AF = CF =>diện tích tam giác ABF = BCF, GAF = GCF, trừ đi => diện tích tam giac BAG = BCG

2. E là trung điểm => diẹn tích BGE= 1/2 BAG

3.Diện tich BGE = 1/2 diện tích BAG = 1/2 BCG, cùng đỉnh B cùng đường cao hạ xuống đương CGE => GE = 1/2 GC

 

[Vulcan V70]

Cứ công nhận là được bác ơi. Người ta đã chứng minh rồi.
Em nhớ sgk chứng minh bằng cách chỉ ra rằng 6 tam giác nhỏ chung đỉnh G có diện tích bằng nhau.
Sau đó chẳng hạn theo hình vẽ của Cụ ta xét ông tg BGA có diện tích gấp 2 lần ông tam giác BGD là xong

 

[Of.NguyenLinh]

Đây cụ ơi

 

[shiluo]

Cụ dùng lớp 5 đi cho dễ: chỉ cần tam giác cùng đường cao và đáy bằng nhau thì diện tích bằng nha. Tức là trung tuyến sẽ chia tam giác ra 2 phần bằn nhau:
AGE = BGE
CGD = BGD
ABD = BCE = 1/2 ABC
=> AGE = CGD (cùng bù tứ giác BDGE)
=> AGB = 2* BGD => AG = 2*GD (chung chiều cao hạ từ B)

 

[Jingbell]

Gửi cụ: Giải theo toán lớp 5 cụ ạ.

S(BGD)= S(GDC)
S(AGF)=S(FGC)
--> S(ACD)=S(BFC)=1/2 S( ABC)
-->S( SFG) = S( BGD)
-->S(FGC)= S( CGD)
--> S(CGD) = 1/2 S( AGC)
--> GD= 1/2 AG