Bài này thì lại trong sách giáo khoa rồi, dãy số (1+1/n)^n tăng dần đến số e.
Cụ nói đúng nhưng chỉ khoảng dưới 50% tân sinh viên của các trường top 1, hiểu và chứng minh được đó là dãy số tăng.
y(x) = (1+1/x)^x, y'(x) > 0 khi x > 0 nên y(x) là hàm đồng biến,
(1+1/1)^1 < (1+1/200)^200
Nếu ra đề tư duy thì sẽ hỏi như sau: so sánh
(1+1/1956)^1956 với (1+1/2023)^2023
Đúng tổng thể nhưng đi vào chi tiết có thể sai. Vấn đề ở đây là chỉ khoảng 50% tân sinh viên đỗ vào các trường top 1 biết đồng thời
(1) liên hệ dãy số rời rạc (1+1/n)^n với hàm số liên tục (1+1/x)^x;
(2) biết tính đạo hàm đúng hàm số (1+1/x)^x.
Lỗi sai cơ bản của một nửa số sv là nhận dạng sai và áp dụng công thức học thuộc lòng
y=f(x)^n suy ra y'=n*[f(x)]^(n-1) * f'(x).
Không hiểu là hàm hợp f(x)^g(x) phức tạp hơn, không phải ở dạng hàm hợp đơn giản như f(x)^n. Do đó tính sai.
Thực tế cho thấy ngay cả một số bạn sinh viên kiếm tiền từ gia sư (1 kèm 1 mức 300-500k/buổi) cho các gia đình khá giả, cũng mắc lỗi đơn giản tương tự.
Ở ví dụ trên, có thể khoảng gần 40% sinh viên tính SAI do nhận dạng sai:
[(1+1/x)^x]'= x * [(1+1/x)^(x-1)] * (1-1/x)' = x * [(1+1/x)^(x-1)] * (-1/x^2) <0 với mọi x>0.
Họ kết luận sai đây là hàm giảm !
